Pozitif Çarpanlar Toplamı

Uyarı: Bu bütün pozitif çarpanlarını toplar, eğer kendisi hariç pozitif çarpanları gerekiyorsa sayının kendisini toplamdan çıkarın.

Bunu daha önce görmüş olabilirsiniz.

Bir sayının pozitif çarpanlarının toplamını her birini bulmak zorunda kalmadan sadece asal çarpanlarını kullanarak hesaplayabilirsiniz. Örneğin 72 sayısı için şunu yaparız.

Önce asal çarpanlarına ayırırız.

$$ 36 = 2^3 \cdot 3^2 $$

Şimdi her asal çarpan için şunu uygularız:

Önce bu asal çarpanın kuvveti kaç buluruz, bunu asal çarpanlara ayırdığımızda bulmuştuk. Örneğin 2 için bu sayı 3. Daha sonra asal çarpanın bu kuvvete kadar olan kuvvetlerini toplarız (bu kuvvet dahil). Örneğin \(2^3\) için:

$$ 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 $$

Bunu sayının diğer asal çarpanları için de yaptıktan sonra bulduğumuz sonuçları çarparız.

$$ 15 \cdot (1 + 3 + 9) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 18 + 24 + 36 + 72 = 195 $$

Peki bu neden mi işe yarıyor? Bu çarpımları cebirsel ifade çarpar gibi çarpalım.

$$ (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = $$ $$ 1(1 + 3 + 9) + 2(1 + 3 + 9) + 4(1 + 3 + 9) + 8(1 + 3 + 9) = $$ $$ 1 + 3 + 9 + 2 + 6 + 18 + 4 + 12 + 36 + 8 + 24 + 72 $$

Gördüğünüz gibi çarpanları toplamış oluyoruz.