Mükemmel Sayılar

Uyarı!

Burada verilen bilgileri sorunun öncülünü okumadan uygulamaya çalışırsanız yanlış yapabilirsiniz! Bazı sorular mükemmel sayıları gerçekte olduğu gibi değil başka bir şey olarak gösterebilir. Ayrıca süpermükemmel sayılar normal süpermükemmel sayılardı ve başka türleri de vardır, örneğin (2,8)-mükemmel sayılar.

Mükemmel Sayılar

Mükemmel sayı soruları ile şu ana kadar kaç kez karşılaştınız? Her seferinde hesaplamaktan sıkıldıysanız bu sayılardan 10000’in altında sadece 4 tane bulunduğunu ve ezberlenebileceğini söyleyebilirim, ama ezber sevmeyenler için kural gelsin. \(2^p - 1\) asal bir sayı olmak üzere \(2^{p-1}(2^p - 1)\) bir mükemmel sayıdır.

Eğer bunu her seferinde yapmak yerine zaten birkaç tane olan sayıları ezberleyeyim derseniz ilk 4 mükemmel sayı 6, 28, 496 ve 8128‘dir. OEIS’de gerisini bulabilirsiniz.

Bonus: Süpermükemmel sayılar

Sorularda çıktığını şu ana görmedim ama güzel bir soru olacağından kesin karşınıza çıkar (soru tutturma??). Süpermükemmel sayıların çarpanlarının toplamının çarpanlarının toplamı kendisinin iki katıdır. Örneğin D(x)‘in x’in çarpanları toplamına eşit olduğunu kabul edersek: $$ D(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 $$ $$ D(31) = 31 + 1 = 32 = 16 \cdot 2 $$ 16 bir süpermükemmel sayıdır. Şimdi bunun kuralına gelirsek o da şöyledir. p ve \(2^p - 1\) asal olduğunda \(2^{p-1}\) süpermükemmel sayıdır. İlk 5 süpermükemmel sayı 2, 4, 16, 64 ve 4096‘dir, dikkat ederseniz her 2’nin kuvveti değil yukardaki şarlara uyan sayılar süpermükemmel olabiliyor, örneğin 8 değildir.